Joko honen jatorria iluna da, baina Erdi Aroan sortu zen Europan. Ritmomakia hitzak zenbakien gudua esan nahi du latinez. Beste izen batzuk ere izan ditu: Ludus philosophorum, Filosofoen jokoa; 1910ean, jokoen historialari Jahn-ek zenbakizko xakea matematikarientzat izena jarri zion.

Ritmomakia sortu zenean, hainbat jokotan aritzen ziren Europan: dadoetan apustuekin aritzen ziren, xakea dagoeneko sartua zegoen Iberiar eta Italiar penintsuletatik, errota joko mota asko nonahi erabiliak ziren, eta taulak jokoa ere zabalduta zegoen.

Egile batzuek diote Pitagorasen zenbaki-teorian oinarritutako joko honen jatorria Bizantzion edo Alexandrian bilatu behar dela. Hala ere, ez dago aztarna fisikorik, ez eta idatzirik ere, hipotesi hori oinarritzeko.

Badira ritmomakia jokoa aipatzen duten XI., XII., eta XIII-XIV. mendeetako eskuizkribuak. Jokoa aipatzen duten iturri zaharrenetan, Arno Borst-en arabera, Asilo izeneko Würzburg-eko fraidearena da lehena, 1030 inguruan. Laster zabalduko da Erromatar-Germaniar Inperio Sainduan zehar eta 1040an agertuko da Hermannus Contractus (1013-1054) fraide jakitun eta matematikariaren testuan, Hermanni ritmomachia izenez ezagutzen da eta haren hiru eskuizkribu daude. Bigarrena, Accolytus beneditarrarena da, 1077an, eta Würzburg-eko monasterioan jokatzen zela dio. Ritmomaquia Wirceburgensis izenez da ezaguna eta haren zazpi eskuizkribu daude. Beste lan bat xi. mendeko Odonis ritmomaquia (1090), Odo izeneko fraide batena dela uste da eta bi kopia aurkitu dira. Eta azken iturri zaharra aipatzeagatik, Fortolfus fraidearen Fortolfi ritmomachia (1130) da, eta eskuizkribu bakarra du.

Iturri zaharrenak monasterioen testuinguruan kokatzen dira, non Boezioren Aritmetika azaltzen baitzen Quadriviumaren (aritmetika, geometria, musika eta astronomia) barnean. Gainera, ez Mendebaldeko Europan ez Ekialdeko Europan, ez dira holako idazkirik aurkitu. Hortaz, onargarria dirudi jokoaren jatorria testu zaharrak idatzi ziren Erdialdeko Europan kokatzea.

Aipatzekoa da testu zahar horiek ez dutela argibide handirik ematen jokoaren arauei buruz; izan ere, testu laburrak dira, azalpen ilunak eta piezen balioa ezaguntzat ematen dituzte, eta problema zehatzen soluzioak baino ez dute ematen. Badirudi adituei zuzenduak direla. Erdi Aroan asko jokatu zen, baina zenbakien progresioen ezagutza eskatzen zuenez, ikasien klasera murriztuko zen, segur aski. Hala eta guztiz ere, garai batean xakeak baino itzal handiagoa izan zuen.

Zeharkako aipamenei esker, badakigu ritmomakia jokoa helburu didaktikoekin erabili zela Boezioren Aritmetika ikasteko. Esaterako, XIII. mendeko Vetula poeman deskribatu eta goraipatzen da eta Tomas Morok, 1516ko Utopia lanean, jokoaren aldeko aipua egin zuen:

Afal ondo, ordu bat hartzen dute libertitzeko; udan, baratzean eta neguan, jangela handietan. Hor dira batzuk musikan ari eta besteak solasean elkarrekin. Zortea, eta beste horrelako joko zoro eta kaltegarriak ez dira aipu ere; bainan bi joko badituzte, nolazpait xake-jokoa iduriak: zenbaki-jokoa da bat eta zenbaki jakin batek bestea garaitzen du; bestea, gerla-jokoa da; eta bizioen eta bertuteen arteko gerla da gaia [1].

Aipatzen duen lehen jokoa, zortea, dadoak dira; eta zenbaki-jokoa ritmomakia da.

Testu horiek iradokitzen dute ritmomakia ongi ikusten zuela elizak buruko ariketa onuragarri gisa, xakea ez bezala. Ez dira erraz ulertzen bi jokaera horiek; ez bada xakean erregea hil behar zelako edo, akaso, xakea musulmanek ekarri zutelako Europara.

Ondoriozta dezakegu, beraz, jokoa XI. mendearen erdialdean sortu zela Alemaniako monasterioen esparruan; fraideen eskoletako ikasleak zenbakien aritmetikarekin trebatzeko helburua zuela. XI. eta XII. mendeetan Alemanian eta Frantzia aldean zabalduko zen eta XII-XIII. mendeetan Ingalaterrara igaro zen.

Inprenta asmatu arte ez zuen ritmomakiak monasterioen hormak gainditzea eta zabaltzea lortuko. Orduan, ritmomakiaren gidaliburuak ugaritu ziren. John Shirwood-ek 1482ko Liber de ludo arithmomachia lanean jokoa laburki deskribatu zuen. Jacques Lefèvre d’Étaples-en 1496ko Rithmimachie ludus qui pugna numerorum appellare Parisko unibertsitateko ikasleei zuzendua zen. Claude de Boissière-ren, 1554 eta 1556ko Le très excellent et ancien Jeu Pythagorique, dit Rithmomachie..., frantsesez eta latinez hurrenez hurren, garaiko gidaliburu xehatuena izan zen, ritmomakiaren erabilera zabaltzeko asmoz, arauak argiago azaldu zituelako. Alemanez idatzitako lehena Abraham Ries-en 1562ko Arithmomachia izan zen, monasterioetako testuetan oinarritua. William Fulke-ren eta Rafe Lever-en 1563ko The Most Noble Ancient, and Learned Playe, Called the Philosophers Game, Boissièreren liburuaren itzulpena, lan zabalduena izan zen Ingalaterran. Francesco Barozzi-ren 1572ko Il nobilissimo et antiquissimo Givocco Pythagorea nominato Rythmomachia cioe Battaglia de Consonantie de Numeri lanak zabalpen handia lortu zuen Erdialdeko Europan. Gustavus Selenus-en 1616ko Das Schach- oder Königsspiel liburuaren bukaeran Rythmomachia. Ein vortrefflich und uhraltes Spiel desz Pythagorae, Barozziren testuaren itzulpena, dator.

XVII. mendean ritmomakiaren entzutea gutxituko da. Matematikako ikasleen, ikasien edo jakintsuen jokoa izan zena halako batean desagertu zen. Esate baterako, Selenusen testuan xakeari buruzko liburuaren bukaeran agertzen da. Desagerpen horren arrazoi bat izan daiteke matematiketan eman ziren aldaketak, Boezioren aritmetika musulmanen aljebraz joan zen ordezkatzen pixkana. Unibertso ordenatu eta hierarkizatuak oinarri sendoa zuen Boezioren zenbaki-teorian; baina ikuspegi hori aldatzen hasi zen Errenazimentuarekin. Matematikaren irakaskuntzak bere ateak zabaldu zituen beste unibertso batzuk onartzeko.

Alemanian, XIX. mendean, Adler izeneko matematika-irakaslea eta xake-jokalaria ritmomakiaren alderdi hezitzaileak ateratzen saiatu zen, 1852ko eskola-programan, baina arrakastarik gabe. 1917an, Jahn matematika-irakaslea bere ikasleekin ere saiatu zen, baina ez zuen arreta handirik bereganatu.

XX. mendean ikerketa batzuk egin dira jokoaren jatorriaz eta arauaz. Bereziki, Alemanian egindako lan sakonek argitasun pixka bat eman diete bi alderdi horiei (Arno Borst, Detlef Illmer, Peter Mebben).

Theoni Pappas-ek, ritmomakian oinarriturik, Chase jokoa aurkeztu zuen haurrei zuzendutako 1997ko Math for Kids & Other People Too! liburuan. Chase jokoan piezek ez dute zenbakirik eta mugimenduetan jauziak onartuta daude.

[1] Tomas Moro. Utopia. 1516. Itzultzailea: Piarres Charritton, Klasikoak, Bilbo, 1992, 139. orr.

Ritmomakiaren osagaiak

Orain, ritmomakiaren osagaiez dauden zehaztugabetasunak ikusiko ditugu. Batzuetan egileen artean aldeak daudelako gertatzen dira, eta beste batzuetan gako batzuen inguruan daturik ez dagoelako.

Ritmomakia jokoaren taulari dagokionez, Boissièrek berak iradokitzen du aukera bat baino gehiago dagoela 8×16 laukiko laukizuzen bat erabiltzea proposatzen duenean, baina minimo gisa 10 laukiko luzera ematen duenean. Neurrietan 9, 12, 14 edo 16×8 aldaerak aipatzen dira testuetan. Taularen diseinuan, egile batzuek lauki zuriak eta beltzak erabiltzen dituzte, xakean bezala; beste batzuek kolore bakarra erabiltzen dute. Ez du ematen xake-itxurako taula behar denik.

Piezei dagokienez, egile guztiak bat datoz piezen balioetan eta dagokien forman. Piezen banaketa eta balioa hau da egile guztietan:

Jokalari batek 24 pieza argi hauek ditu: zirkuluetan, 2, 4, 6, 8 / 4, 16, 36, 64; triangeluetan, 6, 20, 42, 72 / 9, 25, 49, 81; karratuetan, 15, 45, 153 / 25, 81, 169, 289; eta piramidean, 91*.

Beste jokalariak 24 pieza ilun hauek ditu: zirkuluetan, 3, 5, 7, 9 / 9, 25, 49, 81; triangeluetan, 12, 30, 56, 90 / 16, 36, 64, 100; karratuetan, 28, 66, 120 / 49, 121, 225, 361; eta piramidean, 190*.

Piezen taulako kokapena, ordea, ez da beti bera egile guztietan. Esate baterako, Boissièrek piezak, nolabait, eskuinetik ezkerrera (8, 6, 4, 2 eta 9, 7, 5, 3) kokatu zituen taulan. Berozzik, ordea, Boissièrek emandako posizioaren simetrikoa eman zuen (2, 4, 6, 8 eta 3, 5, 7, 9).

                                             Boissière eta Fulke-Lever-3                                                                                                 Fulke-Lever-1

Hasierako beste posizio bat agertzen da Fulke-Lever-en testuan. Boissièrek ematen duen piezen posizio bera baina bi zutabe aurrerago erdialdera, bai bakoitiak bai bikoitiak.

Beste hirugarren batean, piezak falange moduan kokatuta daude 4×6 laukizuzen bat osatuz taularen alde motzen erdialdean. Badirudi antolaketa hori, ordea, zenbakien osaeratik eratortzen dela eta tarteko urrats gisa erabiltzen dutela Boissièrek eta Barozzik hasierako posiziora iristeko, eta ez hasierako posizio moduan. Berez, Barozzik azaltzen du nola kokatu behar diren piezak taulan lehenengo urratsean, hortik, gero, bigarren eta “perfetta” posiziora erraz pasatu ahal izateko.

                                   Boissière, Barozzi eta Fulke-Lever-2                                                                                               Odo eta Stigter

Stigter-ek, bere aldetik, ezagutzen den diagrama zaharrenean (Odo-eranskina) oinarritzen da beste antolaketa bat emateko. Horren berezitasuna da pieza argiak eta ilunak simetriaz kokatzen dituela, xakean bezala, eta, ondorioz, piramideak taularen alde berean daude. Esaterako, 3ko iluna 2ko argiaren aurrean, 5eko iluna 4ko argiaren aurrean, etab.

Ritmomakiaren arauak

Arauei dagokienez, iturriak ez datoz bat ritmomakiaren arauak ematerakoan; areago, iturri batzuek aukera bat baino gehiago ematen dute. Piezen mugimenduen gutxienez hiru bertsio ikusi ditugu. Guk hemen Núñezen testuari, beraz Boissièreren testuari, jarraituko diogu.

Núñezek dio beti hasiko dela pieza argiak, bikoitiak, dituen jokalaria, hasieran konbinazioak osatzeko beltzek, bakoitiek, duten abantailatxoa orekatzeko. Mebben-ek dio, ordea, ilunak, bakoitiak, hasten direla, argiek aukera gehiago dutelako harrapatzeko eta harmoniak osatzeko. Cazaux-Knowltonek diote testu gehienek pieza ilunak, bakoitiak, hasten direla zehazten dutela.

Mugimenduak

Egileak ados daude, esplizituki edo inplizituki, esatean bi pieza ezin direla lauki berean egon; baina, jauziei dagokienez, irizpide desberdinak daude.

Mugimenduen irismena aipatzen dugunean, kontuan izan behar dugu Erdi Aroan pieza bat 4 lauki mugitzen zela esaten zutenean, 4 kopuru horren barnean sartzen zirela abiatzeko laukia eta iristeko laukia. Guk gaur egun pieza bat 3 lauki mugitzen dela esango genuke, abiatzeko laukia kontuan hartu gabe, eta horrela emango ditugu mugimenduen irismenak testu honetan.

Boissièreri jarraituz, zirkuluak ortogonalki mugi daitezke, aurrera-atzera edo ezker-eskuin, alboko lauki huts batera, baina ez diagonalean. Triangeluak diagonalean zehazki bi lauki mugi daitezke, bidea zein bigarren laukia hutsik egonez gero. Karratuak edozein norabidetan zehazki hiru lauki mugi daitezke, bidea zein hirugarren laukia hutsik egonez gero. Aldaera hori bera ematen dute Barozzik, Selenusek eta katalanezko wikipediak [[1]].

                  Boissière, Barozzi,Selenus eta katalanezko wikipedia [[1]]                                                                        Shirwood eta Fulke [[2]]

Shirwoodek eta Fulkek (2. aldaera) honela ematen dute: zirkuluak, triangeluak eta karratuak edozein norabidetan mugitzen dira zehazki lauki bat, bi eta hiru, hurrenez hurren. Fulkek jauziak ere onartzen zituen 2. aldaera horretan [[2]].

Aldaera antzekoa ematen dute Bellek eta Botermansek, baina triangeluak hiru lauki eta karratuak lau lauki mugituz [[3]].

Faberrek eta Fulkek (3. aldaera) honela ematen dute: zirkuluak, triangeluak eta karratuak ortogonalki mugitzen dira zehazki lauki bat, bi eta hiru, hurrenez hurren [[4]].

                                                  Bell eta Botermans [[3]]                                                                                                  Faber eta Fulke [[4]]                                          

Beste aldaera batean, zirkuluak diagonalean lauki huts batera mugitzen dira; triangeluak eta karratuak ortogonalki mugitzen dira zehazki bi eta hiru lauki, hurrenez hurren, bidea beti libre badago. Horrela ematen dute Fulkek, Cazaux-Knowltonek eta gaztelaniazko eta ingelesezko wikipediek. Horrez gain, Fulkek (1. aldaera) triangeluei eta karratuei L moduko mugimendua egiteko aukera ematen die, xakeko zaldiak bezala. Adibidean ez da argi geratzen karratuen kasuan L horrek hiruko edo lauko luzera duen, biak ematen dituelako [[5]].

    Fulke, Cazaux-Knowlton eta gaztelaniazko eta ingelesezko wikipediak [[5]]

Piramideei dagokienez, testu gehienek onartzen dute piramideek, zirkuluz, triangeluz eta karratuz osaturik daudenez, hiru piezen mugimenduak egin ditzaketela, jokalariaren nahiaren arabera. Piramidea osorik mugitzen da pieza bat balitz bezala. Jakina, piezen mugimenduak egilearen araberakoak direnez, piramidearen mugimenduak ere bai.

Piramideak osorik edo zatika izan daitezke erasoak. Zatikako eraso batean piezaren bat galtzen badute, haien mugitzeko ahalmena ere galtzen dute; baina galera hori ez dago ondo zehaztuta testuetan. Badirudi ideia nagusia dela piramide batek mota bateko piezak galtzen baditu (esaterako, bi karratuak), pieza mota horren mugimendua galtzen duela.

Stigterrek zehazten du piramidea mugitzen dela geratzen zaion pieza baten arabera.

Barozzik piramideei xakeko zaldiaren jauzia egiteko aukera ematen die setiaturik daudenean.

Fulkek piramideei, ohikoaz gain, norabide guztietan ere mugitzeko aukera ematen die, gehienez hiru urrats emanez.

Harrapaketak

Piezak harrapatzea ez da ritmomakia jokoaren helburu nagusia; beraz, piezak harrapatzea ez da derrigorrezkoa.

Núñezek dio harrapaketa guztiak pieza baten mugimendua bukatutakoan gauzatzen direla; mugitu den piezaren eta gainerakoen posizioen arabera, eta ahal bada (piezek lerro zuzenean, ortogonala edo diagonala, egon behar dute, eta bien arteko bidea libre egon), harrapaketa gauzatuko da. Orduan, aurkariaren pieza taulatik aterako da, baina eraso duen pieza bere laukian geratuko da, harrapatutakoaren laukia bete gabe.

Boissierek dio jokalari batek, bere txandan, aurkariaren pieza bat taulatik ateratzea ahazten badu, bere hurrengo txandan, nahi izanez gero, atera dezakeela; baina, orduan pieza aurkariaren laukira mugitu beharko du bere pieza, mugimendu gisa.

Stigterrek zehazten du harrapaketa egiten duen piezak pieza harrapatuaren laukia bete dezakeela. Hori ohiko mugimenduarekin egiten da, setioaren kasuan izan ezik, non mugimendua harrapatutako piezaren mugimendua baita. Urrats hori mugimendu gisa kontatzen da, hau da, hori egiten duen jokalariak ezin du besterik egin.

Cazaux-Knowltonek txanda batean harrapaketa bat baino gehiago egiteko aukera ematen dute: harrapaketa derrigorrezkoa ez bada ere, jokalari bat konturatzen bada aurkariak ez duela harrapaketa bat gauzatu, harrapaketa egin ez duten piezak har ditzake (“haizatuak” esaten dena).

Iturriek piezak harrapatzeko hainbat bide proposatzen dituzte, baina ez dago adostasunik egileen artean. Guk hemen Boissièreri jarraituko diogu, eta horrekin erkatuz beste aldaera batzuk azalduko ditugu.

Pieza aurkari bat topo eginez harrapatuko da balio berdineko pieza batek mugimendu batean pieza horren laukia bete ahal duenean. Boissièrek dio jokalari batek bere txandan aurkariaren pieza bat taulatik ateratzea ahazten badu, hurrengo txandan egin ahal izango duela, nahi izanez gero, baina behartuta egongo dela bere pieza ateratakoaren laukira mugitzera. Bi piezek balio bera badute ere, gerta daiteke batak bestea harrapatzeko aukera izatea, baina besteak bera ez, mugimendu desberdinak dituztelako. Boissièrek eta Barozzik zehazten dute harrapaketa mota hau 9, 16, 25, 36, 49, 64 eta 81 balioetako piezekin baino ezin dela egin, bi jokalariek dituztelako.

Pieza aurkari bat erasoz harrapatuko da pieza baten balioa bera eta pieza aurkari horren artean dauden lauki kopuruaz, mugimenduaren norabidean, biderkatuz edo zatituz pieza aurkariaren balioa berdintzen denean. Ez dago argi lauki kopuru horretan irteerako eta iritsierako laukiak sartzen diren, adibideetan bi aukerak agertzen direlako. Boissièreren eta Barozziren adibideetan ez dira kontuan hartzen piezak dauden laukiak eta kasu posibleen taula ematen dute biek. Fulkek ez du harrapaketa mota hau ematen. Cazaux-Knowltonek tarteko distantzian ez dituzte hartzen piezak dauden laukiak eta ez dute eskatzen bi piezen arteko bidea pieza erasotzailearen mugimenduaren bide bera izatea. Stigterrek, ordea, harrapatzen den piezaren laukia ere kontuan hartzen du. Hala ere, onartzen du batzuetan distantziak harrapatzailearen laukia ere hartzen dela kontuan edo piezek ez dutela zertan lerro zuzenean egon, L moduko bideetan bezala, baina bidea libre egonik.

Pieza aurkari bat segadan harrapatuko da bi edo pieza gehiago hurrengo mugimenduan pieza horren laukia betetzeko posizioan daudenean, eta pieza horien balioen arteko baturak edo kendurak pieza aurkariaren balioa berdintzen dutenean. Boissièrek eta Barozzik bi pieza erasotzaile baino ez dituzte erabiltzen adibideetan. Boissièrek baturaren kasu posibleen taula ematen du, eta Barozzik baturaren eta kenduraren taulak. Cazaux-Knowltonek baturaz eta kenduraz gain, biderkadura eta zatidura ere onartzen dituzte. Stigterrek ere lau eragiketak onartzen ditu, baina araua lau kasutan bereizirik ematen ditu, kenduraren eta zatiduraren kasuetan bi pieza baino ez direla sartzen zehaztuz. Horrez gai, topoz egindako harrapaketa baturaren kasu partikular gisa sartzen du segadan. Botermansek dio pieza bat segadan erortzen dela bi pieza artean harrapatuta geratzen bada, ortogonalean edo diagonalean, eta erabiltzen duen eragiketa bakarra batura da. Berdin esaten du Smith-ek. Ez dute zehazten segada egiten duten bi pieza horiek haien mugimenduekin pieza aurkariaren laukira iristea duten edo ez.

Pieza aurkari bat setioan harrapatuko da piezek pieza hori inguratzen dutenean, mugitzen utzi gabe. Ez dago adostasunik irizpideetan. Boissièrek setioa norabide ortogonaletan egitea proposatzen du; baina orduan, berak onartzen duen bezala, zirkuluei eta piramideei baino ez die eragiten. Barozzik dio pieza aurkaria setioan dagoela ezin bada mugitu berariazko mugimenduetan eta beste pieza lagun batek ezin duenean lagundu setiatzen duten pieza bat harrapatuz. Fulkeren azalpenetan setioa pieza edo piramide setiatuaren mugimendua oztopatzeko laukietan egiten da, eta triangeluen eta karratuen kasuan ez da alboko laukietan zertan izan. Núñezen ustez, logikoa dirudi setiatzeko bete behar diren laukiak pieza aurkariaren motaren araberakoak izatea, mota bakoitzak mugimendu desberdinak dituelako. Botermansek dio setioa lerro ortogonaletan egin behar dela, ez diagonalean. Setioan lagungarriak dira taularen aldeak eta erpinak, bertan pieza gutxiago behar direlako pieza bat setiatzeko. Ez da argi geratzen setiatzen duten piezek pieza setiatuaren ondoz ondoko laukietan egon behar duten.

Cazaux-Knowltonek beste bi bide ematen dituzte piezak harrapatzeko, potentzia eta progresioa. Lehenengoan, pieza harrapatzaileak pieza harrapakinaren laukira iristeko aukera badu, eta pieza harrapatzailearen balioaren potentzia bat edo errodura bat pieza harrapakinaren balioaren berdina bada, harrapatuko du. Bigarrenean, erasotzaileak pieza aurkari baten laukira iristeko bi pieza baditu, eta hiru piezek, harrapatzaileek eta harrapakinak, progresio aritmetiko, geometriko edo harmoniko bat osatzen badute, pieza aurkaria harrapa dezake.

Piramideen aurkako erasoa berezia da haien osaketagatik. Hemen ere desadostasunak daude egileen artean. Gehienek diote piramide osoa setioaren bidez harrapa daitekeela. Botermansek dio ezta horrela ere ezin dela harrapatu. Eta Stigterrek eransten du osorik harrapa daitekeela batura osoa edo piramidearen beheko karratua, 64 argia eta 36 iluna, harrapa daitezkeenean gainerako harrapaketa motekin.

Botermansek dio piramide osoa harrapatzeko, lehenago beheko karratua harrapatu behar da. Ondoren, (geratzen den) piramide osoa harrapa daiteke, gainerako pieza bat nahi den eran harrapatuz. Baina, piramidearen bigarren pieza hori arriskuan dagoenean, piramidearen jabeak erasotzaileari arriskuan dagoen piezaren balioa bera duen beste pieza bat edo, holakorik ez badu, edozein pieza eskain diezaioke trukean. Erasotzaileak aukera du eskaintza onartzeko, eta eskainitako pieza harrapatuko du, edo errefusatzeko, eta piramidea harrapatuko du.

Denek onartzen dute piramidearen piezak banaka harrapa daitezkeela, baina aldeak daude batetik bestera. Stigterrek dio piramidea zatika harrapa daitekeela pieza bat harrapatzeko erabiltzen diren setioa izan ezik gainerako bideen bidez; kasu horretan harrapatzaileari eskain dakioke pieza harrapatuaren balio bera duen beste pieza bat, taulan egonez gero. Baina, zer esan nahi du? Piramide osoa harrapatzen dela edo piramidea deseraikitzen dela. Setioz gain, Cazaux-Knowltonen arabera, piramidea zatika ere harrapa daiteke, aldi bakoitzean piramidearen pieza bat harrapatuz. Ez dago argi piezak behetik gora edo beste edozein ordenatan harrapatu behar diren eta uler daiteke piramidearen pieza guztiak banan-banan harrapa daitezkeela piramidea bukatu arte.

Piramideen erasotzeko ahalmena geratzen zaizkion piezen araberakoa izango da, oro har. Ez da zehazten balio osoa geratzen zaizkion piezen batura den edo hasierako balioa, 91* eta 190*. Núñezen arabera, piramideak galtzen duen osagai bakoitzeko bere erasotzeko ahalmena ere txikiagotzen da, eta ezin du bere balio osoarekin (91* edo 190*) eraso, geratzen zaion pieza baten balioarekin baizik. Cazaux-Knowltonen arabera, piramideak mugitzeko bezala jokatuko du erasotzeko, bere balio osoa edo pieza baten balioa soilik hartuz. Stigterrek dio piramideak pieza bat harrapa dezakeela bi eratan: lehena, bera osatzen duen pieza batek bezala, setioan izan ezik, piramidearen mugimendua pieza horrena izanik eta zehazten du ezin dela pieza bat baino gehiago erabili harrapaketarako. Eta bigarrena, piramideak bere uneko osagaien batura erabil dezakeela harrapaketa mota guztiekin, aurreko aukera erabili gabe txanda horretan. Eta bi kasuetan eransten du mugimendua hautatutako piezatik independentea dela. Mebbenen arabera, piramideen banakako osagaiek harrapa dezakete eta harrapatuak izan daitezke. Osagairen bat falta bazaio, piramideak harrapatuak izan daitezke batura osoagatik, baina, kasu horretan, haiek ezin dute piezarik harrapatu haien batura osoarekin. Batura partzialak onartezinak dira.

Harrapatutako piezak

Ez dago adostasunik harrapatutako piezen inguruan. Jokalari batek pieza bat harrapatzen zuenean, pieza harrapatuaren jabeak berak aurretik harrapatutako pieza batez ordezka zezakeen. Adibideetan ez da argi ikusten ordezkapena zenbakizko balio bereko pieza batez edo forma bereko pieza batez egin behar zen. Ez dago argi ordezkapen hori piramide bat osatzen duten piezak erasotzean bakarrik edo gainerako piezak erasotzean ere egin zitekeen. Jacques Lefèvre d’Étaples-ek ordezkapena onartzen zuen aurretik harrapatutakoen artean balio bereko pieza bat zegoenean.

Barozzik bere bosgarren arauan dio harrapatutako pieza guztiak eta piramideen osagai guztiak taulatik kanpo harrapatzailearen aldean geratu behar direla ahoz behera, horren piezen koloreko bihurtzeko eta horrek nahi duen unean eta lekuan erabil ditzan, batzuk edo guztiak taulara nahierara sartzeko.

Fulkek dio harrapatutako edozein pieza harrapatzailearen kolorearekin gora jarri behar dela, eta haren eremuko azkeneko laukian jarri, eta handik aurkari berrien kontra jo eta jabe berria lagundu irabazten.

Cazaux-Knowltonek diote, ordea, erasotako pieza taulan gera daitekeela, baina leialtasuna aldatzen du. Kasu horretan, bere lekuan irauli besterik ez da egiten, zenbaki eta forma bera erakutsiz, baina kolorez aldatuz. Aldeak aldatu dituen pieza bat ezin da mugitu edo bigarren aldiz harrapatu. Bere laukian jarraitzen du, mugiezina eta geldiezina, baina zenbakizko konbinazioetan parte har dezake jabe berriaren mesedetan.

Núñezek, koherentziaz, iradokitzen du errepikatzen diren balioak dituzten piezak baino ezin direla ordezkatu, hau da, zenbaki karratuak; gainera, batzuk piramideen osagaiak dira.

Garaipenak

Bide batzuk daude ritmomakian garaipena lortzeko, denak loriatsuak ez izan arren. Bi kategoriatan sailkatu ohi dira: garaipen arruntak eta berariazko garaipenak.

Garaipen arruntak hasiberriak entrenatzeko garaipenak izango ziren. Boissièrek bost garaipen arrunt eman zituen:

Gorputzaren garaipenak harrapatutako pieza kopurua baino ez du kontuan hartzen. Jokalariek partida hasieran adostuko dute kopuru hori, eta lortzen duen lehena izango da irabazlea.

Ondasunen garaipenak harrapatutako pieza guztien balioa baino ez du kontuan hartzen. Aurrekoan bezala, jokalariek balio hori adostuko dute partida hasieran.

Prozesu-garaipenak harrapatutako piezetan dagoen zifra kopurua hartzen du kontuan, ez balioa. Adibidez, batak 16, 20, 25 piezak (hiru pieza eta 61 puntu) harrapatu baditu eta besteak 5, 7, 9, 49 piezak (lau pieza eta 70 puntu), lehenak irabazi du sei zifra lortu dituelako, eta bigarrenak bost zifra. Aurrekoetan bezala, jokalarien adostasuna behar da zifra kopuru hori erabakitzeko. Fulkek, Botermansek eta Cazaux-Knowltonek zifra kopuruarekin batera piezen zenbakien batura ere eskatzen dute. Horrela, jokalariek batura bat zenbat zifrarekin lortuko (edo gaindituko) duten adostu behar dute.

Ohorezko garaipenak harrapatutako piezen kopurua eta balioa hartzen ditu kontuan. Hau da, irabazleak adostutako pieza kopuru zehatza eta piezen balioa lortu edo gainditu behar ditu.

Ohorezko eta prozesuko garaipenak hiru irizpideak hartzen ditu kontuan, pieza kopurua, piezen balioa eta piezen zifra kopurua. Jokalariek kopuruak adostu behar dituzte partida hasieran. Hau da, irabazleak adostutako batura lortu edo gainditu behar du pieza kopuru zehatzean eta piezen zifra kopuru zehatzean.

Berariazko garaipenak jokoaren funtsa dira; ez dute kontuan hartzen aurkariaren piezen harrapaketa, baizik eta norberaren piezen posizioa, aurkariaren eremuan, egitura erregular batean, halako moduan non piezen balioek harmonia bat erakusten duten.

Fulkek aurkariaren eremua ezartzen du haren lehen piezen lerrotik, hasierako posizioan, eta taularen bukaeraraino, 40 lauki hartuz, edo batzuek nahi bezala 48. Fulkeren hasierako posizioa kontuan hartuz, 48 lauki izango lirateke, 6×8. Stigterrek dio aurkariaren eremua haren aldeko taula erdia dela.

Boissièrek berariazko hiru garaipen eman zituen:

Hala moduzko garaipena lortzen du jokalariak aurkariaren eremuan hiru pieza sartzen dituenean harmonia hauetako bat osatuz: progresio aritmetikoa, progresio geometrikoa edo progresio musikala (harmonikoa) [2]. Adibideak: aritmetikoa, 3, 5, 7 pieza ilunak; geometrikoa, 9, 12, 16 pieza ilunak; harmonikoa, 9, 16, 72 pieza argiak.

Garaipen handia lortzen du jokalariak aurkariaren eremuan lau pieza sartzen dituenean zenbait harmonia osatuz; esaterako, aritmetikoa eta geometrikoa, edo aritmetikoa eta harmonikoa, edo geometrikoa eta harmonikoa.

Garaipen bikaina lortzen du jokalariak aurkariaren eremuan hiru harmoniak dituzten lau pieza sartzen dituenean.

Hiru garaipenetan adostasuna dago, baina ez harmonia hori erakusten duten piezen posizioan. Boissièrek ez zituen posizio horiek eman, aurkariaren eremuan izan behar zela baino ez zuen esan. Cazaux-Knowltonek diote, hala moduzko garaipenean, piezek lerro ortogonal edo diagonal batean egon behar dutela, eta distantzia berdinera eta ordena gordez; eta eransten dute egile batzuek angelu zuzen bat osatzea ere onartzen dutela. Garaipen handian, ordea, ez dute eskatzen piezek distantzia berdina gordetzeko. Mebbenek dio piezak goranzko lerro batean, angelu zuzenean edo, lau izanik, karratu baten erpinetan kokatu behar direla, eta elkarrengandik distantzia berdinera. Piezen posizioz gain, piezen ordena ere kontuan hartu behar da. Baina horretaz ere ez dago argibiderik. Fulkeren adibidean ikusten da ez duela ordena gorakorra edo beherakorra eskatzen: 5, 1, 3. Piezak ordenan, gorakorrean edo beherakorrean, jartzeko eskatzen bada, helburua zaildu egingo da. Stigterrek dio piezak zenbakien arabera ordenatu behar direla eta distantzia berdinera jarri behar direla, lerro ortogonal edo diagonal batean, eta piezarik gabe tartean. Dio ere maiz angelu zuzenean jartzea ere onartzen dela.

Badago beste kontu bat garaipenen inguruan eta hierarkiak osatzerakoan harrapatutako piezak erabiltzeko aukera da. Testu klasikoek aukera hori ikusten dute, baina ez dute baldintzarik ematen. Ez dakigu zenbat pieza eta zeintzuk erabil daitezkeen. Eta egungo adituek ere ez dute ezer argitu. Mebbenek, ordea, dio harrapatutako piezak erabiltzeak harmoniak osatzea errazten duela, baina ez dela komeni harmonia osatzen duen azken pieza izatea.

[2] Har ditzagun a, b, c  zenbakiak. Progresio aritmetikoan daude  c – b = b – a  betetzen bada. Progresio geometrikoan daude  c / b = b / a  betetzen bada. Progresio harmonikoan daude  c / a = ( c – b ) / ( b – a )  betetzen bada.