Osagaiak eta hasiera

Puzzlea zazpi piezek osatzen dute: bi triangelu zuzen txiki berdin, aurrekoekin osatutako karratu bat, triangelu zuzen ertain bat eta paralelogramo bat, lau triangelu txikirekin osatutako bi triangelu zuzen handi.

Bakar-jokoa da.

Helburua irudi desberdinak osatzea da.

 

Arauak

Irudi guztiak zazpi piezekin egin behar dira, ezin da pieza bat erabili gabe utzi.

 

 

 

 

Disekzio-puzzle gehiago

Hainbat irudiko puzzleak

Ostomachion

Antzinako greziar geometrian, Ostomachion, Loculus Archimedius bezala ere ezaguna (latinezko Arkimedes-en kutxa) edo Syntomachion, Arkimedesi egotzitako tratatu matematiko bat da. Lan horrek bizirik iraun du, zatika, arabierazko bertsio batean eta antzinako grezierazko jatorrizko testuaren Arkimedes palinpsestoa izeneko kopia batean, bizantziar garaietan egina.

Ostomachion (Όστομάχιου) hitza grezierazko osteon (όστέου, hezurra) eta mache (μάχη, bataila, borroka) hitzetatik dator. Eskuizkribuan stomachion hitza dator, jatorrizko grezieraren ustezko endekatzea. Dezimo Magno Ausonio-k (Vasats, c. 309 – Bordeletik gertu, c. 394) ostomachion izen zuzena ematen digu. Ausoniok deskribatzen duen ostomachiona tangramaren antzeko buru-hausgarri bat zen, eta, agian, hezurrez egindako piezekin jokatu zuten. Ez dakigu zein den zaharragoa, Arkimedesen irudiaren azterketa geometrikoa, edo jokoa.

Puzzleak hamalau pieza ditu: hamaika triangelu, bi lauki eta pentagono bat.

Puzzlearen hasierako helburua pieza guztiekin karratu bat osatzea zen. Beranduago, piezekin osa daitezkeen hainbat irudi erantsiko ziren.

 

Karratua osatzeko, 17.152 soluzio daude; baina, simetriak, errotazioak eta islapenak kenduta, soluzio kopurua 268 da. Hamalau piezek osatzen duten karratuaren aldea 12 unitatekoa dela pentsatzen badugu, puzzlearen pieza guztien azalera zenbaki osoez adierazten dira, irudian ikusten diren balioak, hain zuzen.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Alle Neune (Bederatziak)

Bederatzi piezez osatutako puzzlea: zazpi triangelu (2, 2, 1, 1, 1) eta bi trapezio berdin. Laukizuzen bat osatzen dute. Hainbat irudi osatu behar dira.

 

 

 

 

 

 

 

Der Zornbrecher (Senetik atera)

Puzzle honen lehen adibide ezaguna 1892ko ekainekoa da eta urte hauetan gutxienez kaxa-estalkien lau diseinu ezberdin egon dira.

Zazpi piezez osatutako puzzlea: hiru triangelu (2, 1), bi lauki berdin eta bi pentagono irregular berdin. Oktogono bat osatzen dute. Hainbat irudi osatu behar dira.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kreisrätsel (Zirkulua)

Puzzle honen lehen adibide ezaguna 1891ko abuztukoa da eta urte hauetan gutxienez kaxa-estalkien lau diseinu ezberdin egon dira.

Hamar piezez osatutako puzzlea: lau triangelu zuzen berdin eta sei triangelu lerromakur (2, 2, 2). Zirkulu bat osatzen dute. Hainbat irudi osatu behar dira.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pentaminoa

Pentaminoen multzo osoa biltzen duen lehen puzzlea Henry Ernest Dudeney-ren The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems liburuan agertu zen, 1907an argitaratua, The broken chessboard (Xake-taula puskatua) izeneko asmakizunean. Pentaminoen multzo osoa zuten laukizuzeneko lehen lauzak The Problemist Fairy Chess Supplement aldizkarian agertu ziren 1935ean, eta lauzatze-problema gehiago esploratu zituzten bertan, eta haren ondorengoan, The Fairy Chess Review aldizkarian.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pentominoak Solomon W. Golomb-ek definitu zituen formalki 1953an. Poliminoen terminoa Golombek sortu zuen 1954an, American Mathematical Monthly aldizkarian argitaratu zuen Checker Boards and Polyominoes artikuluan. Beranduago, 1957an, Scientific American aldizkarian sakondu zuten azterketa. Polimino bat karratuen multzo konektatu bat baino ez da. Bi karratu konektatzen baditugu, domino bat lortzen dugu. Triminoak, hau da, hiru karratu konektatu, bi dira; tetraminoak, lau karratu konektatu, bost dira.

Martin Gardner-ek aurkeztu zituen, 1965eko urriko Mathematical Games zutabean, Scientific American aldizkarian. Golombek antzinako grezierazko πέντε (pénte) hitzatik pentamino terminoa asmatu zuen, bai eta domino hitzaren -ominoa ere, "d-" hori grezierazko di- (bi) aurrizkiaren forma bat balitz bezala interpretatuz. Golombek 12 pentominoak latinezko alfabetoko letren bidez izendatu zituen, FILiPiNo mnemonikoa alfabetoaren amaierako TUVWXYZ letrekin batera erabiliz.

 

Hamabi piezez osatutako puzzlea: pentamino bakoitza bost unitate-karratuz osatuta dago. Bost unitate-karratu elkartzeko hamabi forma desberdinak dira. Hainbat irudi osatu behar dira.

 

Hexiamanteak

Thomas O’Beirne-k (1910-1975) poliamanteak aztertu zituen, 1959an. Poliamanteetan hainbat triangelu aldekide lotzen dira. Esaterako, hexiamanteak sei triangelu aldekide elkartzean lortzen dira. Izena karta-sorta frantsesaren diamanteen serietik dator, diamanteak bi triangelu aldekidez osatuta daudelako.

Hamabi piezez osatutako puzzlea: hexamino bakoitza sei unitate-triangelu aldekidez osatuta dago. Sei unitate-triangelu elkartzeko hamabi forma desberdinak dira. Hainbat irudi osatu behar dira.

Hainbat irudi osa daitezke, hexamino guztiekin edo gutxiagorekin.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tangram ez-simetrikoa

Vladimir Krasnoukhov-ek sortutako puzzlea da. Helburua bost piezekin irudi simetrikoak sortzea da.

Bost piezez osatutako puzzlea: bi trapezio zuzen berdinez osatutako bost pieza ez-simetriko. Hainbat irudi osatu behar dira.

 

 

 

 

 

 

Tangram arrauzkara

Puzzle honen lehen adibide ezaguna 1893ko irailekoa da. Beranduago hegaztien irudiak zituen liburuxka batekin argitaratu zen.

Bederatzi piezez osatutako puzzlea: hiru triangelu zuzen (2, 1), lau triangelu lerromakur (2, 2) eta bi lauki lerromakur berdin. Arrautza bat osatzen dute. Hainbat irudi osatu behar dira.

 

 

 

 

 

 

 

Tangram pentaminoa

Hamabi piezez osatutako puzzlea: hiru tetramino, lau pentamino, lau hexamino eta heptamino bat, unitate-karratuekin osatuak. Hainbat irudi osatu behar dira.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Arlekina

Henry Ernest Dudeney-k (1857-1930) The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems liburuan aurkeztu zuen The broken chessboard (Xake-taula puskatua) asmakizuna, 1907an. Dudeneyk piezak alde batetik bakarrik margotu zituen; beraz, xake-taula osatzeko ezin ziren irauli.

Hamahiru piezez osatutako puzzlea: tetramino karratu bat eta hamabi pentaminoak. Pieza guztietan, karratuak bi koloretan daude margotuta, xake-taula osatzeko.

Xake-taula bat osatu behar da. Erronka horri baldintza bat erants dakioke, tetramino bakarra taularen zentroan kokatzea, hain zuzen. Baina, beste irudi batzuk ere osa daitezke, pieza guztiekin edo pieza batzuekin bakarrik. Esaterako, 3×3 karratua, 5×5 karratua, 4×5 laukizuzena eta 3×10 laukizuzena.

 

 

Bi irudiko puzzleak

Puzzle hauetan, puzzlearen pieza guztiekin bi irudi egin daitezke.

Dodekagonoa-karratua

Sei piezez osatutako puzzlea: triangelu aldekide bat, bost pentagono irregular berdin eta heptagono irregular bat. Dodekagono bat edo karratu bat osatu behar dira.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Izarra-karratua

Bost piezez osatutako puzzlea: bi triangelu aldekide, triangelu zuzen bat, lauki bat eta pentagono irregular bat. Sei erpineko izar bat edo karratu bat osatu behar dira.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Loreontzia-karratua

Hiru piezez osatutako puzzlea: zirkuluerdi bat eta bi triangelu lerromakur. Loreontzi bat edo karratu bat osatu behar dira.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bestelakoak

Elfferen liburuan Michel Dekking-ek eta Jaap Goudsmit-ek tangramarekin egin daitezkeen irudi batzuk aztertu zituzten.

Tangram konbexuak

Tangram jokoaren piezekin infinitu irudi osa daiteke. Aski da horretarako irudi batean pieza bat pixka bat mugitzea. Baina jokoari seriotasun- edo zorroztasun-apur bat eman behar zaio.

Tangram jokoaren propietate interesgarri bat da jokoaren pieza guztiak ganbil edo konbexuak izatea. Irudia konbexua da bere barne-angelu guztiak 180º baino txikiagoak badira. Hauxe da orain galdera: Zenbat irudi konbexu eraiki daiteke tangramaz? Oraingoan erantzuna ez da infinitu irudi, ez. 1942. urtean, Zhejiang-eko Unibertsitate Nazionaleko Fu Traing Wang eta Zhu Xi Hsiung-ek frogatu zutenez, irudi konbexu hauek gehienez zortzi alde izango dituzte. Gero, irudi konbexuak laukizuzen baten barruan sartzen direla kontuan hartuz, 20 irudi konbexu sortzen zirela ere frogatu zuten. Horietatik 13 bakarrik eraiki daitezke tangrameko piezekin. Frogapen hauetan irudi konbexu hauek triangelu txikiak bezalako 16 triangelu erabiliz eraiki behar zirela pentsatu zuten; izan ere tangram jokoa 16 triangelu txikitan zati baitaiteke.

Sare-tangramak

Sare bat tarte erregularretan gurutzatzen diren harien multzo bat da. Sare-tangram bat zazpi piezen erpin guztiak sareko korapiloekin bat datozen tangramak dira.

Edozein sare-tangram oinarrizko triangeluekin zabal daiteke poligono konbexu bat lortu arte. Poligono konbexua lortzeko behar den oinarrizko triangeluen kopuru txikiena tangramaren konbexutasun-zenbakia da, eta tangrama barruan duen poligono konbexuari tangramaren edukitzaile konbexu. Esaterako, tangram konbexuek 0 konbexutasun-zenbakia dute eta beren buruaren edukitzaile konplexuak dira.

Bestalde, kontuan izanik tangram batean oinarrizko 16 triangelu daudela, oinarrizko 17 triangelu dituen poligono konbexu batetik oinarrizko triangelu bat ken daiteke eta tangram bat lor daiteke. Horrela lortuko genituzke 1 konbexutasun-zenbakia duten sare-tangram guztiak, 1-konbexuak. Ideia hori orokortuz, esan dezakegu irudi n-konbexuak lortzeko, nahikoa dela oinarrizko n triangelu tangramen 16 triangeluei eranstea.

Horrela, kalkuluak egin eta gero, oinarrizko 17 triangeluekin osatutako 9 poligono konbexu aurkitu ziren. Horiei oinarrizko triangelu bat ahal den modu guztietan kenduz, tangram 1-konbexuak lor daitezke. Eta 133 irudi 1-konbexu lortu ziren. Irudi 2-konbexuen kopurua oso handia da.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Konbexutasun-zenbakia handitu ahala, irudi kopurua ere handituz doa. Baina, irudi horietan tangramaren piezak bata bestetik urruntzen joaten dira. Ondorioz, tangramen osatzeak bere misterioa galtzen du. Egoera hori saihesteko, kontzeptu bat erabil daiteke, trinkotasuna. Tangram bat trinkoa dela esango dugu tangramaren edozein bi puntu lotzen dituen kurba tangramaren barrutik igarotzen denean. Kontzeptu horrekin, sare-tangram trinkoen konbexutasun-zenbakia mugatzen da. Egileek frogatu zuten sare-tangram trinkoen konbexutasun-zenbaki handiena 56 dela. Beste kontu bat da horrelako sare-tangram trinko bat eraikitzea; Rotterdam-eko bi ikaslek sare-tangram trinko 40-konbexua egitea lortu zuten.

Tangram zatigarriak

Izen honekin, sare-tangram trinkoaren piezak bi multzotan banatuz gero, multzo bakoitzeko piezekin irudi berdinak osatuz lortzen diren tangramak izendatzen dira. Hortaz, Tangram zatigarria bi erdi berdin-berdinen konbinazioak dira. Irudi biki horien kopurua 65 da. Irudi bikiak elkartzeko aukerak ugariak direnez, sare-tangram trinko zatigarriak hamaika dira.

 

 

Iturriak

Patxi Angulo martin. Jolas Matematikoak. Tangram-a. Elhuyar, Usurbil, 1990.

Joost Elffer: El Tangram. Editorial Labor S.A., Bartzelona, 1982.

Joost Elffer eta Michael Schuyt: Tangram. El antiguo rompecabezas chino. Evergreen, Kolonia, 1999.

Louis Hoffmann: Hoffmann's Puzzles Old & New. Frederick Warne and Co. and New York, Londres, 1893.

Jean-Marie Lhôte: Histoire des jeux de société. Flammarion, Paris, 1994.

Jerry Slocum eta Jack Botermans: Puzzles, old & new. 1987.

Juegos de Ingenio (2). RBA, Bartzelona, 2003.

 

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k33574949/f210.item

https://gutenberg.org/cache/epub/27635/pg27635-images.html#s74